Question

設(shè)z為復(fù)數(shù)，則“|z|=1”是“z+

1

z

是實(shí)數(shù)”的

 

條件．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．

解答： 解：設(shè)z=a+bi，a，b∈R，
∵復(fù)數(shù)z為虛數(shù)，∴b≠0
則z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

，
若|z|=1，則a²+b²=1，
即z+

1

z

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+bi+a-bi=2a是實(shí)數(shù)，充分性成立．
若z+

1

z

是實(shí)數(shù)，
則z+

1

z

=a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

=a+

a

a2+b2

+（b-

b

a2+b2

）i，
∴b-

b

a2+b2

=0，
解得b=0（舍去）或a²+b²=1，
∴|z|=1，必要性成立．
故“|z|=1”是“z+

1

z

是實(shí)數(shù)”的充要條件，
故答案為：充要條件

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．