Question

某產(chǎn)品生產(chǎn)成本C萬(wàn)元與產(chǎn)量q件（q∈N^*）的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，銷(xiāo)售單價(jià)p萬(wàn)元與產(chǎn)量q件的函數(shù)關(guān)系式為p=25-

1

4

q．當(dāng)產(chǎn)量為多少件時(shí)，每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)最大，且最大值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出銷(xiāo)售收入、利潤(rùn)，可得每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，利用導(dǎo)數(shù)即可求得最大值及產(chǎn)量q值．

解答： 解：銷(xiāo)售收入R=q×p=25q-

1

4

q2，利潤(rùn)L=R-C=-

1

4

q2+21q-100，
每件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)f(q)=

L

q

=21-(

1

4

q+

100

q

)（0＜q＜100且q∈N^*）…（6分）
所以f/(q)=-

1

4

+

100

q2

…（8分），解f′（q）=0得q=-20（舍去），或q=20…（9分），
當(dāng)0＜q＜20時(shí)，f′（q）＞0，f（q）單調(diào)遞增；
當(dāng)20＜q＜100時(shí)，f′（q）＜0，f（q）單調(diào)遞減…（11分）．
所以產(chǎn)量q=20時(shí)，f（q）_max=11…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際背景下函數(shù)的最值問(wèn)題、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．