Question

中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧”號以4臺蒸汽輪機為動力，為保證航母的動力安全性，科學(xué)家對蒸汽輪機進行了170余項技術(shù)改進，增加了某項新技術(shù)，該項新技術(shù)要進入試用階段前必須對其中的三項不同指標(biāo)甲、乙、丙進行通過量化檢測．假如該項新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨立通過檢測合格的概率分別為

3

4

、

2

3

、

1

2

．指標(biāo)甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分；若某項指標(biāo)不合格，則該項指標(biāo)記0分，各項指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響．
（Ⅰ）求該項技術(shù)量化得分不低于8分的概率；
（Ⅱ）記該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）該項新技術(shù)的三項不同指標(biāo)甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A、B、C，事件“得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C．利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式能求出結(jié)果．
（Ⅱ）該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)X的取值為0，1，2，3，分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）該項新技術(shù)的三項不同指標(biāo)甲、乙、丙獨立通過檢測合格分別為事件A、B、C，
則事件“得分不低于8分”表示為ABC+A

.

B

C．
∴ABC與A

.

B

C為互斥事件，且A、B、C為彼此獨立，
∴P（ABC+A

.

B

C）=P（ABC）+P（A

.

B

C）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）
=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

3

8

，（5分）
（Ⅱ）該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)X的取值為0，1，2，3，（6分）
∵P（X=0）=P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

24

，
P（X=1）=P（A

.

B

.

C

+

.

A

B

.

C

+

.

A

.

B

C）
=

3

4

×

1

3

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

+

1

4

×

1

3

×

1

2

=

1

4

，
P（X=2）=P（AB

.

C

+

.

A

BC+A

.

B

C）
=

3

4

×

2

3

×

1

2

+

1

4

×

2

3

×

1

2

+

3

4

×

1

3

×

1

2

=

11

24

，
P（X=3）=P（ABC）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，（10分）
隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

∴EX=0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．（12分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機事件的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型，解題時要注意互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式的應(yīng)用．