Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），若對任意兩個不等的正實數x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：依題意知，f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立?a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，利用二次函數的對稱性、單調性與最值，可求得g（x）_max，于是可得a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），對任意兩個不等的正實數x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，
∴f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立，
∴a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
則a≥g（x）_max，
∵g（x）=2x-x²為開口方向向下，對稱軸為x=1的拋物線，
∴當x=1時，g（x）=2x-x²取得最大值g（1）=1，
∴a≥1．
即a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查導數的幾何意義與二次函數的對稱性、單調性與最值，考查轉化思想．