Question

若地球半徑為R，在北緯45°圈上有A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)間的球面距離為

π

3

R，則北緯45°圈所在平面與過A、B兩點(diǎn)的球的大圓面所成的二面角的余弦值為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  3

• C．

  3

  4

• D．

  2 3

  5

Answer 1

分析：如圖，Q為北緯45°圈 的圓心，△QAB，OAB均為等腰三角形，設(shè)M為AB中點(diǎn)，可知∠OMQ為所求角．由已知，求出QM，OM再在RT△OMQ中求解即可．

解答：解：如圖，A、B兩點(diǎn)間的球面距離為以O(shè)為圓心，且過A，B的圓中弧AB的長度，
設(shè)∠AOB=α，則α•R=

π

3

R，α=

π

3

．，
又OA=OB，∴△AOB為正三角形，∴AB=R．
設(shè)Q為北緯45°圈的圓心，則由球的截面圓形狀可知，OQ⊥⊙Q面，∠OAQ=45°，
且截面圓半徑長QA=R•cos∠OAQ=R•cos45°=

2

2

R．
在△QAB中，QA²+QB²=AB²，得△QAB為等腰直角三角形．
設(shè)M為AB中點(diǎn)，連接QM，OM，則OM⊥AB，QM⊥AB，
∴∠OMQ為北緯45°圈所在平面與過A、B兩點(diǎn)的球的大圓面所成的二面角的平面角．
在RT△OMQ中，cos∠OMQ=

QM

OM

=

1 2 AB

OA2-AM2

=

1 2 R

R2-( 1 2 R)2

=

3

3

所以所求二面角的余弦值是

3

3

故選B．

點(diǎn)評：本題考查面面角的大小計(jì)算，結(jié)合了球的有關(guān)性質(zhì)：球的截面圓的性質(zhì)，緯度的意義，球面距離的概念．需具有一定的空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．