Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形且側(cè)棱垂直于底面，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-A的大�。�
（3）求直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及題中P為AB₁中點(diǎn)和D為AC中點(diǎn)，中點(diǎn)這樣信息，得到線線PD∥B₁C平行，在利用PD∥平面A₁BD線面平行，利用線面平行的判定定理得到線面B₁C∥平面A₁BD平行；
（2）有正三棱柱及二面角平面角的定義，找到二面角的平面角，然后再三角形中解出二面角的大��；
（3）利用條件及上兩問(wèn)的證題過(guò)成找到∠APM就是直線A₁B與平面A₁BD所成的線面角，然后再三角形中解出即可．
解答：解：（1）設(shè)AB₁與A₁B相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB₁中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，∴PD∥B₁C．
又∵PD∥平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．

（2）∵正三棱住ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥底面ABC．
又∵BD⊥AC
∴A₁D⊥BD
∴∠A₁DA就是二面角A₁-BD-A的平面角．
∵AA₁=，AD=AC=1
∴tan∠A₁DA=
∴∠A₁DA=，即二面角A₁-BD-A的大小是．

（3）由（2）作AM⊥A₁D，M為垂足．
∵BD⊥AC，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A₁ACC₁，
∵AM?平面A₁ACC₁，
∴BD⊥AM
∵A₁D∩BD=D
∴AM⊥平面A₁DB，連接MP，則∠APM就是直線A₁B與平面A₁BD所成的角．
∵AA₁=，AD=1，∴在Rt△AA₁D中，∠A₁DA=，
∴AM=1×sin60°=，AP=AB₁=．
∴sin∠APM=
∴直線AB₁與平面A₁BD所成的角的正弦值為．
點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了線面平行的判定定理，線面角的概念及二面角的平面角的定義，還考查了在三角形中求解角的大小，及學(xué)生的空間想象能力及計(jì)算能力．