Question

【題目】已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列{an}和{bn}滿足：an+1= ，n∈N* ，
（1）設(shè)bn+1=1+ ，n∈N*，求證：數(shù)列{ }是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn+1= ，n∈N*，且{an}是等比數(shù)列，求a1和b1的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知，an+1= = =

∴

從而數(shù)列{ }是以1為公差的等差數(shù)列

（2）解：∵an＞0，bn＞0

∴

從而 （*）

設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由an＞0可知q＞0

下證q=1

若q＞1，則 ，故當(dāng) 時， 與（*）矛盾

0＜q＜1，則 ，故當(dāng) 時， 與（*）矛盾

綜上可得q=1，an=a1，

所以，

∵

∴數(shù)列{bn}是公比 的等比數(shù)列

若 ，則 ，于是b1＜b2＜b3

又由 可得

∴b1，b2，b3至少有兩項相同，矛盾

∴ ，從而 =

∴

【解析】（1）由題意可得，an+1= = = ，從而可得 ，可證（2）由基本不等式可得， ，由{an}是等比數(shù)列利用反證法可證明q= =1，進而可求a1 ， b1
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等差關(guān)系的確定的相關(guān)知識，掌握如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，以及對等比數(shù)列的基本性質(zhì)的理解，了解{an}為等比數(shù)列，則下標成等差數(shù)列的對應(yīng)項成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項不為零的常數(shù)列．