Question

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=a_n²+5，n=1，2，3，…，證明對所有的n≥1，有
（i）a_n+1＞4a_n+1；
（ii）．
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1＞a_n²+5，n=1，2，3，…．
證明對所有的n＞2011，有．

Answer 1

【答案】分析：（i）    將a_n+1=a_n²+5轉(zhuǎn)化成 a_n+1=a_n²+4+1，利用基本不等式，a_n+1=≥2a_n×2+1，整理即可．
解答：證明：（i）由數(shù)學(xué)歸納法知，a_n＞0，
∴a_n+1=a_n²+5=a_n²+4+1≥2a_n×2+1=4a_n+1．
 （ii） 對k≥2，有a_k=a_k-1²+5=a_k-1²+4+1＞4a_k-1+1＞4（4a_k-2+1）+1＞…＞4^k-1a₁+4^k-2+…+4+1
=∴．                                                   
對所有的n≥1，有
∴=
（Ⅱ）欲證，只需證a_n+2011＞a_n²（n＞2011），
∵a_n+1＞a_n²+5，n=1，2，3，…．
∴a_n+2011＞a_n+2010²+5
∴a_n+2010＞a_n+2009²+5
∴a_n+2009＞a_n+2008²+5
…
a_n+1＞a_n²+5
∴∴a_n+2011+a_n+2010+…+a_n+1＞a_n+2010²+a_n+2009²+…+a_n+1²+a_n²+5×2011
∴a_n+2011＞（   ）+（ ）+9 ）         
=+（5×2011-×2010）+a_n²＞a_n²
 故
點(diǎn)評：本題考查了不等式的證明，主要用到了放縮法、分析法．還需具有轉(zhuǎn)化，代換、計(jì)算的能力．