【答案】
分析:(I)要證數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,只要證明a
n+1-a
n為常數(shù),由a
n>0 及已知遞推關系可證
(II)由(I)知求a
n=2n+1,從而可得C
n+1-C
n=2n+1,故可利用迭代法C
n=(C
n-C
n-1)+(C
n-1-C
n-2)+…+(C
3-C
2)+(C
2-C
1)+C
1求解
(III)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/0.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/1.png)
,結合數(shù)列的通項的特點,故考慮利用錯位相減求和即可
解答:(I)證明:由已知可得:(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n)-2(a
n+1+a
n)=0
∴(a
n+1+a
n)(a
n+1-a
n-2)=0
∵a
n>0
∴a
n+1+a
n>0
∴a
n+1-a
n=2
∴數(shù)列{a
n}是以1為首項,以2為公差的等差數(shù)列(4分)
(II)解:由(I)知a
n=1+2(n-1)=2n-1
∴C
n+1-C
n=2n+1
當n≥2時,C
n=(C
n-C
n-1)+(C
n-1-C
n-2)+…+(C
3-C
2)+(C
2-C
1)+C
1=(2n-1)+(2n-3)+…+5+3+1
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/2.png)
當n=1時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/3.png)
適合上式
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/4.png)
(8分)
(III)解:∵
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=
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∴T
n=b
1+b
2+…+b
n∴T
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/7.png)
①
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=
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②
①-②可得,
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=
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=
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![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/14.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/15.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024190229470737632/SYS201310241902294707376020_DA/16.png)
(12分)
點評:本題主要考查了等差數(shù)列的定義法在證明等差數(shù)列中的應用,解題的關鍵是對已知遞推公式進行變形,迭代法在數(shù)列通項求解中的應用及利用錯位相減求和方法的應用,本題考查綜合數(shù)列的遞推關系、通項求解,數(shù)列求和等知識的綜合