Question

已知偶函數(shù)f（x）（x∈R），當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）=-x（2+x），當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
關(guān)于偶函數(shù)f（x）的圖象G和直線l：y=m（m∈R）的3個(gè)命題如下：
①當(dāng)a=2，m=0時(shí)，直線l與圖象G恰有3個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)a=3，m=時(shí)，直線l與圖象G恰有6個(gè)公共點(diǎn)；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等．
其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：可求出函數(shù)在x∈[0，+∞）時(shí)的解析式，令其等于0，解方程可得根，由對(duì)稱性可得根的個(gè)數(shù)，可判①②正確；③同理可得根個(gè)數(shù)為4，可得4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得a的范圍，取a的值即可．
解答：解：設(shè)x∈[0，2），則-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函數(shù)為偶函數(shù)可知，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x），
故當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=，
①當(dāng)a=2，m=0時(shí)，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，
此時(shí)直線l與圖象G恰有3個(gè)公共點(diǎn)-2，0，2，故①正確；
②當(dāng)a=3，m=時(shí)，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=，
令其等于可得x=，或x=，或x=，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，
此時(shí)直線l與圖象G恰有6個(gè)公共點(diǎn)-，-，-，，，，故②正確；
③?m∈（1，+∞），令f（x）==m，
∵當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能讓（2-x）（a-x）=m，（m＞1），當(dāng)△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0時(shí)，
可解得x=，或x=，
故由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，由小到大排列為：x₁=，
x₂=，x₃=，x₄=，
而x₄-x₃=，x₃-x₂=a+2-，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜，或a＞，
故可取a=8＞，當(dāng)然滿足a∈（4，+∞），使距離相等，
故對(duì)?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性和根的個(gè)數(shù)的判斷，屬基礎(chǔ)題．