Question

已知A、B是橢圓

x2

2

+y²=1上的兩點(diǎn)，且

AF

=λ

FB

，其中F為橢圓的右焦點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使得

MA

•

MB

為定值？若存在，求出定值和定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，λ=3±2

2

．當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，設(shè)AB：x=my+1，代入橢圓方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
（2）設(shè)M（a，0），由

MA

•

MB

=(x1-a)(x2-a)+y1y2=

(2a2-4a+1)+(a2-2)m2

2+m2

為定值，解得a=

5

4

．由此能推導(dǎo)出存在定點(diǎn)M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

為定值-

7

16

．

解答： 解：（1）由已知條件知：直線AB過橢圓右焦點(diǎn)F（1，0）．
當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，λ=3±2

2

．
當(dāng)直線AB不與x軸重合時(shí)，
設(shè)AB：x=my+1，代入橢圓方程，并整理得（2+m²）y²+2my-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=

-2m

2+m2

，y1y2=

-1

2+m2

．
所以

(y1+y2)2

y1y2

=

-4m2

2+m2

∈(-4，0]．
又由

AF

=λ

FB

，得-y₁=λy₂，
所以

(y1+y2)2

y1y2

=

y12+y22+2y1y2

y1y2

=-λ-

1

λ

+2∈(-4，0]，
解之得3-2

2

＜λ＜3+2

2

．
綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[3-2

2

，3+2

2

]．（7分）
（2）設(shè)M（a，0），
則

MA

•

MB

=(x1-a)(x2-a)+y1y2
=（my₁+1-a）（my₂+1-a）+y₁y₂
=(1+m2)y1y2+m(1-a)(y1+y2)+(1-a)2
=-

1+m2

2+m2

-

2m2(1-a)

2+m2

+(1-a)2
=

(2a2-4a+1)+(a2-2)m2

2+m2

為定值，
所以2a²-4a+1=2（a²-2），解得a=

5

4

．
故存在定點(diǎn)M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

為定值-

7

16

．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AB與x軸重合時(shí)也成立，
∴存在定點(diǎn)M(

5

4

，0)，使得

MA

•

MB

為定值-

7

16

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查是否存在定點(diǎn)使得向量的數(shù)量積為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．