Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且對任意正整數(shù)n，點（a_n+1，S_n）在直線2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，則說明理由．
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用數(shù)列{a_n}的前n項S_n與a_n的關系通過相減的思想得到數(shù)列相鄰項之間的關系式是解決本題的關鍵，證明出該數(shù)列是特殊數(shù)列，進而確定出其通項公式；
（Ⅱ）解法一：確定出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n的表達式是解決本題的關鍵，數(shù)列為等差數(shù)列首先保證其前3項滿足等差數(shù)列的關系，得出關于λ的方程，從而確定出λ的值；
解法二：先確定出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n的表達式，利用數(shù)列為等差數(shù)列的通項公式的特征尋找關于λ的方程，通過求解方程確定出λ的值；
（Ⅲ）對該和式的通項進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，用到了裂項求和的思想，求出該和式，利用函數(shù)的單調(diào)性完成該不等式的證明．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：2a_n+1+S_n-2=0．①n≥2時，2a_n+S_n-1-2=0．②
①─②得，
∵．
∴{a_n}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，∴．
（Ⅱ）解法一：∵．
若為等差數(shù)列，
則成等差數(shù)列，
2，
得λ=2．
又λ=2時，，顯然{2n+2}成等差數(shù)列，
故存在實數(shù)λ=2，使得數(shù)列成等差數(shù)列．
解法二：∵．
∴．
欲使成等差數(shù)列，只須λ-2=0即λ=2便可．
故存在實數(shù)λ=2，使得數(shù)列成等差數(shù)列．
（Ⅲ）證明：∵
=
∴
=…
==
又函數(shù)=在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴，
∴，．
點評：本題屬于數(shù)列與不等式的綜合問題，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查學生分析問題解決問題的能力和意識，要用好數(shù)列的前n項 S_n與a_n的關系，等差數(shù)列、等比數(shù)列有關公式，裂項求和的思想和方法，數(shù)列的函數(shù)意識．