Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間，講座開始時，學生的興趣激增，中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：分），可以有以下公式：f(x)=

-0.1x2+2.6x+43 59 -3x+107

(0＜x≤10) (10＜x≤16) (16＜x≤30)

（1）開講多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
（2）開講5分鐘與開講20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
（3）一個數(shù)學難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時間，老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題？

Answer 1

分析：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1（x-13）²+59.9，可得f（x）在0＜x≤10時單調遞增，最大值為f（10）=59．當10＜x≤16時，f（x）=59；當x＞16時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．即可得出．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47，即可得出；
（3）當0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；當x＞16時，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，即可得到學生一直達到所需接受能力55的狀態(tài)的時間，進而判斷出老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
f（x）在0＜x≤10時單調遞增，最大值為f（10）=-0.1×（10-13）²+59.9=59．
當10＜x≤16時，f（x）=59；當x＞16時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59．
因此開講10分鐘后，學生的接受能力最強（為59），能維持6分鐘．
（2）f（5）=-0.1×（5-13）²+59.9=53.5，f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
因此開講5分鐘比開講20分鐘時，學生的接受能力強一些．
（3）當0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或20（舍去）；
當x＞16時，令f（x）=55，解得x=17

1

3

，
可得學生一直達到所需接受能力55的狀態(tài)的時間=17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
因此老師不能及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

點評：本題考查了分段函數(shù)的意義、二次函數(shù)的單調性、一次函數(shù)的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．