Question

【題目】已知正項數(shù)列滿足： ， .為數(shù)列的前項和.

（Ⅰ）求證：對任意正整數(shù)，有；

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意，總存在正整數(shù)，使得時， .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(I)分類討論和兩種情況，結(jié)合裂項求和即可證得題中的結(jié)論；

(II)結(jié)合(I)的結(jié)論的結(jié)論可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，然后結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（Ⅰ）證法一：因為，

∴時， ，

∴ ，即，

當(dāng)時， ，綜上， .

證法二：考慮到數(shù)列的前項和為，猜想，

當(dāng)時，結(jié)論顯然成立.假設(shè)時， 成立，

則當(dāng)時，由，得

，結(jié)論成立.

綜上：對任意，有，

以下同解法一.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

.因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

從而 ，

當(dāng)時， ， ，

所以 ，

令

設(shè)為不小于的最小整數(shù)，取 (即)，

當(dāng)時， .