Question

組委會計劃對參加某項田徑比賽的12名運動員的血樣進行突擊檢驗，檢查是否含有興奮劑HGH成分．采用如下檢測方法：將所有待檢運動員分成4個小組，每組3個人，再把每個人的血樣分成兩份，化驗室將每個小組內(nèi)的3個人的血樣各一份混合在一起進行化驗，若結果中不含HGH成分，那么該組的3個人只需化驗這一次就算合格；如果結果中含HGH成分，那么需對該組進行再次檢驗，即需要把這3個人的另一份血樣逐個進行化驗，才能最終確定是否檢驗合格，這時，對這3個人一共進行了4次化驗，假定對所有人來說，化驗結果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
（Ⅰ）求一個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格的概率；
（Ⅱ）設一個小組檢驗次數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅲ）至少有兩個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格的概率．（精確到0.01，參考數(shù)據(jù)：0.271³≈0.020，0.271⁴≈0.005，0.729²≈0.500）

Answer 1

分析：（1）一個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格，則必有此三個人的血樣中均不含HGH成分，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到要求的概率．
（2）一個小組檢驗次數(shù)為隨機變量ξ，若一次檢驗不合格，則要挨個檢驗三個人的血液，最終結果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值，當變量是4時，用三人都不含HGH成分的對立事件，寫出分布列和期望．
（3）四個小組中至少有兩個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格的對立事件是有一個或0個檢驗不合格，根據(jù)對立事件和獨立重復試驗的概率公式得到概率．

解答：解：（Ⅰ）∵化驗結果中含有HGH成分的概率均為

1

10

．
一個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格，則必有此三個人的血樣中均不含HGH成分
根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式得到
∴所求概率為P=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729．

（Ⅱ）一個小組檢驗次數(shù)為隨機變量ξ，若一次檢驗不合格，則要挨個檢驗三個人的血液，
最終結果要么查一次，要么查三次，得到變量的可能取值
∴隨機變量ξ的取值可為1，4，
當變量是1時，上面已經(jīng)做出結果，
當變量是4時，用三人都不含HGH成分的對立事件．
∴P(ξ=1)=(1-

1

10

)3=(

9

10

)3=0.729P(ξ=4)=1-(

9

10

)3=0.271
∴ξ的分布列為

∴Eξ=(

9

10

)3+4×[1-(

9

10

)3]=1.183

（Ⅲ）四個小組中至少有兩個小組只需經(jīng)過一次檢驗就合格的對立事件是有一個或0個檢驗不合格，
根據(jù)對立事件的概率公式得到概率為
P=1-C₄⁰（0.729）⁰（0.271）⁴-C₄¹（0.729）¹（0.271）³≈0.94

點評：本題主要考查獨立重復試驗和對立事件，正難則反是解題是要時刻注意的，我們盡量用簡單的方法來解題，這樣可以避免一些繁瑣的運算，使得題目看起來更加清楚明了．