Question

已知橢圓G的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，它與x軸交于A、B兩點，與y軸正半軸交于C點，點D（0，4），若

AC

•

BC

=-3，|

BD

|=2

5

．
（I）求橢圓G的方程；
（II）過點D的直線l交橢圓G于M，N兩點，若∠NMO=90°，求|MN|的長．

Answer 1

分析：（I）由題意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4），利用

AC

•

BC

=-3，|

BD

|=2

5

，建立方程組，即可求得橢圓G的方程；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)∠NMO=90°，求得直線l的斜率，從而假設(shè)直線l的方程與橢圓G聯(lián)立，再利用弦長公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）由題意，A（-a，0），B（a，0），C（0，b），D（0，4）
∵

AC

•

BC

=-3，|

BD

|=2

5

∴

(a，b)•(-a，b)=-3 a2+42 =2 5

∴a²=4，b²=1
∴橢圓G的方程為

x2

4

+y2=1；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴

x12+4y12=4 y1-4 x1 × y1 x1 =-1

，解得x1=±

2 5

3

， y1=

2

3

∴直線l的斜率為k=±

5

設(shè)直線l的方程為y=±

5

x+4，與橢圓G聯(lián)立

y=± 5 x+4 x2 4 +y2=1

，消元可得21x2±32

5

x+60=0
解得x1+x2=±

32 5

21

，x1x2=

60

21

∴|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+5

×

(± 32 5 21 )2-4× 60 21

=

4 30

21

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理解題．