Question

14．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊．若acosB=3，bcosA=l，且A-B=$\frac{π}{6}$
（1）求邊c的長；
（2）求角B的大�。�

Answer 1

分析 （1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化為：a²+c²-b²=6c，b²+c²-a²=2c．相加即可得出c．
（2）由（1）可得：a²-b²=8．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{4}{sinC}$，又A-B=$\frac{π}{6}$，可得A=B+$\frac{π}{6}$，C=$π-（2B+\frac{π}{6}）$，可得sinC=sin$（2B+\frac{π}{6}）$．代入可得$16si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）$-16sin²B=$8si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=3，b×$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=1，
化為：a²+c²-b²=6c，b²+c²-a²=2c．
相加可得：2c²=8c，解得c=4．
另解：∵在△ABC中，A+B+C=π，則sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，
由正弦定理得，c=acosB+bcosA=3+1=4．
（2）由（1）可得：a²-b²=8．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{4}{sinC}$，
又A-B=$\frac{π}{6}$，∴A=B+$\frac{π}{6}$，C=π-（A+B）=$π-（2B+\frac{π}{6}）$，可得sinC=sin$（2B+\frac{π}{6}）$．
∴a=$\frac{4sin（B+\frac{π}{6}）}{sin（2B+\frac{π}{6}）}$，b=$\frac{4sinB}{sin（2B+\frac{π}{6}）}$．
∴$16si{n}^{2}（B+\frac{π}{6}）$-16sin²B=$8si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴1-$cos（2B+\frac{π}{3}）$-（1-cos2B）=$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，即cos2B-$cos（2B+\frac{π}{3}）$=$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴-2$sin（2B+\frac{π}{6}）$$sin（-\frac{π}{6}）$═$si{n}^{2}（2B+\frac{π}{6}）$，
∴$sin（2B+\frac{π}{6}）$=0或$sin（2B+\frac{π}{6}）$=1，B∈$（0，\frac{5π}{12}）$．
解得：B=$\frac{π}{6}$．
另解：由正弦定理得$\frac{acosB}{bcosA}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}$=$\frac{tanA}{tanB}$=3，
又tan（A-B）=$\frac{tanA-tanB}{1+tanAatnB}$=$\frac{2tanB}{1+ta{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，B∈（0，π），B=$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、倍角公式、誘導(dǎo)公式、和差公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．