Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分別是A₁C₁，BC的中點．
（1）證明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）證明：C₁F∥平面ABE；
（3）設(shè)P是BE的中點，求三棱錐P-B₁C₁F的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）用勾股定理證明AB⊥BC，由直棱錐的性質(zhì)可得 AB⊥BB₁ ，證明AB⊥面BB₁C₁C，從而得到ABE⊥面BB₁C₁C．
（2）取AC的中點M，由FM∥面ABE，C₁M∥面ABE，從而面ABE∥面FMC₁，得到C₁F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中點G，在BG上取中點O，則PO∥BB₁，過O作OH∥AB交BC與H，則OH為棱錐的高，求出OH 值和
△B₁C₁F的面積，代入體積公式進行運算．
解答：解：（1）證明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．   由已知AB⊥BB₁，∴AB⊥面BB₁C₁C，又∵AB?面ABE，故ABE⊥面BB₁C₁C．
（2）證明：取AC的中點M，連接C₁M，F(xiàn)M，在△ABC中，F(xiàn)M∥AB，∴直線FM∥面ABE．
在矩形ACC₁A₁中，E、M都是中點，∴C₁M∥AE，∴直線C₁M∥面ABE，
又∵C₁M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC₁，故C₁F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中點G，連接EG、BG，在BG上取中點O，
連接PO，則PO∥BB₁，∴點P到面BB₁C₁C的距離等于點O到平面BB₁C₁C的距離．
過O作OH∥AB交BC與H，則OH⊥平面BB₁C₁C，在等邊△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 ，∴．
點評：本題考查證明線面平行、面面垂直的方法，求棱錐的體積，作出棱錐的高OH 是解題的難點和關(guān)鍵．