Question

已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且（n∈N^*），則a₂₀₀₉的值為（ ）
A．4016
B．4017
C．4018
D．4019

Answer 1

【答案】分析：因為是選擇題，可用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由（n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．
解答：解：根據(jù)題意，不妨設(shè)f（x）=
則a₁=f（0）=1，
∵（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₀₉=4017
故選B
點評：本題主要考查數(shù)列與函數(shù)的綜合運用，同時，對于客觀題不妨靈活處理，進而來提高效率，拓展思路，提高能力