已知圓C:x2+y2-6x-4y+4=0,直線l1被圓所截得的弦的中點為P(5,3).
①求直線l1的方程.
②若直線l2:x+y+b=0與圓C相交,求b的取值范圍.
③是否存在常數(shù)b,使得直線l2被圓C所截得的弦的中點落在直線l1上?若存在,求出b的值;若不存在,說明理由.
【答案】
分析:(1)設(shè)直線l
1的斜率為則k,由題意可得圓心C(3,2),又弦的中點為P(5,3),可求得k
PC=
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/0.png)
,由k•k
PC=-1可求k,從而可求直線l
1的方程;
(2)若直線l
2:x+y+b=0與圓C相交,圓心到直線l
2的距離小于半徑,從而可求得b的取值范圍;
(3)設(shè)直線l
2被圓C解得的弦的中點為M(x
°,y
°),由直線l
2與CM垂直,可得x
°-y
°-1=0,與x
°+y
°+b=0聯(lián)立可求得x
,y
,代入直線l
1的方程,求得b,驗證即可.
解答:解:①∵圓C的方程化標準方程為:(x-3)
2+(y-2)
2=9,
∴圓心C(3,2),半徑r=3.設(shè)直線l
1的斜率為則k,則
k=-
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/1.png)
=-
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/2.png)
=-2.
∴直線l
1的方程為:y-3=-2(x-5)即2x+y-13=0.
②∵圓的半徑r=3,
∴要使直線l
2與圓C相交則須有:
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/3.png)
<3,
∴|5|<3
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/4.png)
于是b的取值范圍是:-3
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/5.png)
-5<b<3
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/6.png)
-5.
③設(shè)直線l
2被圓C解得的弦的中點為M(x
°,y
°),則直線l
2與CM垂直,于是有:
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/7.png)
=1,
整理可得:x
°-y
°-1=0.
又∵點M(x
°,y
°)在直線l
2上,
∴x
°+y
°+b=0
∴由
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/8.png)
解得:
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/9.png)
代入直線l
1的方程得:1-b-
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/10.png)
-13=0,
∴b=-
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/11.png)
∈(-3
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/12.png)
-5,3
![](http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103174639656024159/SYS201311031746396560241021_DA/13.png)
-5),
故存在滿足條件的常數(shù)b.
點評:本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用,著重考查通過圓心到直線間的距離與圓的半徑的大小判斷二者的位置關(guān)系,屬于中檔題.