橢圓 $數(shù)學公式$ =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，P為橢圓M上任一點，且 $數(shù)學公式$ 的最大值的取值范圍是[c²，3c²]，其中 $數(shù)學公式$ ．則橢圓M的離心率e的取值范圍是

A.
$數(shù)學公式$
B.
$數(shù)學公式$
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

B
分析：先根據(jù)題意得到兩焦點的坐標，設出點P的坐標進而可表示出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，再得到二者的數(shù)量積后將 $\text{[math]}$ 代入消去x得到關于y的關系式，進而可得到當y=0時 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的值取到最大，進而可求出離心率的取值范圍．
解答：由題意可知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），設點P為（x，y）
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =x²-c²+y²= $\text{[math]}$ -c²+y²
= $\text{[math]}$
當y=0時 $\text{[math]}$ 取到最大值a²-c²，即c²≤a²-c²≤3c²，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．故橢圓m的離心率e的取值范圍 $\text{[math]}$ ．
故選B．
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和橢圓的簡單性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．

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