Question

（2011•江蘇模擬）已知⊙O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|．
（1）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（2）求線段PQ長的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²，化簡(jiǎn)可得a，b間滿足的等量關(guān)系．
（2）由于 PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值．
（3）設(shè)⊙P 的半徑為R，可得|R-1|≤PO≤R+1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得OP=

a2+b2

的最小值為

3 5

5

，此時(shí)，求得b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值為

3 5

5

-1，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答：解：（1）連接OQ，∵切點(diǎn)為Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ²=OP²-OQ²．
由已知PQ=PA，可得 PQ²=PA²，即 （a²+b²）-1=（a-2）²+（b-1）²．
花簡(jiǎn)可得 2a+b-3=0．
（2）∵PQ=

a2+b2-1

=

a2+(-2a+3)2-1

=

5a2-12a+8

=

5(a- 6 5 )2+ 4 5

，
故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，線段PQ取得最小值為

2 5

5

．
（3）若以P為圓心所作的⊙P 的半徑為R，由于⊙O的半徑為1，∴|R-1|≤PO≤R+1．
而OP=

a2+b2

=

a2+(-2a+3)2

=

5(a- 6 5 )2+ 9 5

，故當(dāng)a=

6

5

時(shí)，PO取得最小值為

3 5

5

，
此時(shí)，b=-2a+3=

3

5

，R取得最小值為

3 5

5

-1．
故半徑最小時(shí)⊙P 的方程為 (x-

6

5

)2+(y-

3

5

)2=(

3 5

5

-1)2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，圓的切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．