Question

3．已知直線l₁：x+my+6=0和直線l₂：（m-2）x+3y+2m=0，試分別求實數m的值．
（1）l₁⊥l₂；
（2）l₁∥l₂；
（3）l₁與l₂重合；
（4）相交．

Answer 1

分析 （1）對m分類討論，利用兩條直線互相垂直的充要條件即可得出．
（2）由l₁∥l₂，可得$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}≠\frac{2m}{6}$，（m≠0），解得m即可．
（3）l₁與l₂重合，則$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}=\frac{2m}{6}$，解得m．
（4）m=0時，兩條直線分別化為：x+6=0，-2x+3y=0，此時兩條直線相交．m≠0時，由$-\frac{1}{m}$≠$-\frac{m-2}{3}$，解得m即可得出．

解答 解：（1）m=0時，兩條直線不垂直，舍去．
m≠0，l₁⊥l₂，$-\frac{1}{m}$•$（-\frac{m-2}{3}）$=-1，解得m=$\frac{1}{2}$．
（2）∵l₁∥l₂，∴$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}≠\frac{2m}{6}$，（m≠0），解得m=-1．
（3）l₁與l₂重合，則$\frac{m-2}{1}=\frac{3}{m}=\frac{2m}{6}$，解得m=3．
（4）m=0時，兩條直線分別化為：x+6=0，-2x+3y=0，此時兩條直線相交．
m≠0時，由$-\frac{1}{m}$≠$-\frac{m-2}{3}$，解得m≠3，-1．
則m≠3，-1時兩條直線相交．

點評 本題考查了兩條直線相互平行、互相垂直及其相交的充要條件、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．