Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的n∈N^*，點（a_n，S_n）都在直線2x-y-2=0的圖象上．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）是否存在等差數(shù)列{b_n}，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切n∈N^*都成立？若存在，求出{b_n}的通項公式；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得2a_n-S_n-2=0可得當n≥2時由2a_n-S_n-2=0，2a_n-1-S_n-1-2=0兩式相減可得即a_n=2a_n-1可證
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列b_n，使得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切n∈N^*都成立，則n=1時，b₁，當n≥2時由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2，兩式相減可求
解答：解：（I）由題意得2a_n-S_n-2=0（2分）
當n=1時，2a₁-S₁-2=0得a₁=2
當n≥2時由2a_n-S_n-2=0（1）得2a_n-1-S_n-1-2=0（2）
（1）-（2）得2a_n-2a_n-1-a_n=0即a_n=2a_n-1（4分）
因為a₁=2所以，
所以a_n是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列
所以a_n=2•2^n-1=2ⁿ（6分）
（2）假設(shè)存在等差數(shù)列b_n，使得a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2對一切n∈N^*都成立
則當n=1時，a₁b₁=（1-1）•2¹+2得b₁=1（8分）
當n≥2時由a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（3）
得a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2（4）
（3）-（4）得a_nb_n=n•2ⁿ即b_n=n（10分）
當n=1時也滿足條件，所以b_n=n（11分）
因為為等差數(shù)列{b_n}，故存在b_n=n（n∈N^*）滿足條件（13分）
點評：本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解題中要注意對n=1的檢驗不要漏掉，還要注意等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用．