已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-
3
,0),F2(
3
,0)
,過(guò)F1且與坐標(biāo)軸不平行的直線l1與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),如果△MNF2的周長(zhǎng)等于8.
(I)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q,試問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)E(m,0),使
PE
QE
恒為定值?若存在,求出E的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(I)由題意知c=
3
,4a=8,∴a=2,b=1
∴橢圓的方程為
x2
4
+y2
=1
(II)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=k(x-1)
x2
4
+y2=1
y=k(x-1)
消去y得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2
則由韋達(dá)定理得x1+x2=
8k2
4k2+1
x1x2=
4k2-4
4k2+1
PE
=(m-x1,-y1)
QE
=(m-x2,-y2)

PE
QE
=(m-x1)(m-x2)+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+y1y2
=m2-m(x1+x2)+x1x2+k2(x1-1)(x2-1)
=m2-m
8k2
4k2+1
+
4k2-4
4k2+1
+k2(
4k2-4
4k2+1
-
8k2
4k2+1
+1)

=
(4m2-8m+1)k2+(m2-4)
4k2+1
要使上式為定值須
4m2-8m+1
m2-4
=
4
1
,解得m=
17
8
PE
QE
為定值
33
64
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P(1,
3
2
),Q(1,-
3
2
)
E(
17
8
,0)
可得
PE
=(
9
8
,-
3
2
)
QE
=(
9
8
3
2
)
PE
QE
=
81
64
-
3
4
=
33
64
綜上所述當(dāng)E(
17
8
,0)
時(shí),
PE
QE
為定值
33
64
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓C1
x2
4
+y2=1

(1)若橢圓C2
x2
16
+
y2
4
=1
,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”M:
x2
a2
+
y2
b2
=1
Mλ
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a>b>0,0<λ<1)
分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫(xiě)出具體作法.(不必證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省臺(tái)州中學(xué)高三(上)第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達(dá)式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年浙江省臺(tái)州中學(xué)(上)第二次統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓O是以F1,F(xiàn)2為直徑的圓,一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達(dá)式;
(2)若,求直線l的方程;
(3)若,求三角形OAB面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三(下)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫(xiě)出具體作法.(不必證明)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011年上海市徐匯區(qū)、金山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

定義:由橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”.如果兩個(gè)橢圓的“特征三角形”是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比.已知橢圓
(1)若橢圓,判斷C2與C1是否相似?如果相似,求出C2與C1的相似比;如果不相似,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)寫(xiě)出與橢圓C1相似且短半軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程;若在橢圓Cb上存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,求實(shí)數(shù)b的取值范圍?
(3)如圖:直線y=x與兩個(gè)“相似橢圓”分別交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)C,D,試在橢圓M和橢圓Mλ上分別作出點(diǎn)E和點(diǎn)F(非橢圓頂點(diǎn)),使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個(gè)相似三角形,寫(xiě)出具體作法.(不必證明)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案