對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定義:(1)設(shè)f″(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y=f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實(shí)數(shù)解x,則稱點(diǎn)(x,f(x))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”;
定義:(2)設(shè)x為常數(shù),若定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x,都有f(x+x)+f(x-x)=2f(x)成立,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(x,f(x))對(duì)稱.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)求函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo) ;
(2)檢驗(yàn)函數(shù)f(x)的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱,對(duì)于任意的三次函數(shù)寫出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論 .
【答案】
分析:(1)先求f′(x)得解析式,再求f″(x),由f″(x)=0 求得拐點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入函數(shù)解析式求拐點(diǎn)的縱坐標(biāo).
(2)因?yàn)閒(1+x)+f(1-x)=2f(1),由定義(2)知:f(x)=x
3-3x
2+2x+2關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱,進(jìn)行合情推理,可得結(jié)論:三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d (a≠0)的“拐點(diǎn)”是(
,f(-
)),它就是f(x)的對(duì)稱中心.
解答:解:(1)依題意,得:f′(x)=3x2-6x+2,∴f″(x)=6x-6.
由f″(x)=0,即 6x-6=0.∴x=1,又 f(1)=2,
∴f(x)=x
3-3x
2+2x+2的“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是(1,2).
故答案為:(1,2)
(2)由(1)知“拐點(diǎn)”坐標(biāo)是(1,2).
而f(1+x)+f(1-x)=(1+x)
3-3(1+x)
2+2(1+x)+2+(1-x)
3-3(1-x)
2+2(1-x)+2
=2+6x
2-6-6x
2+4+4=4=2f(1),
由定義(2)知:f(x)=x
3-3x
2+2x+2關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱.
一般地,三次函數(shù)f(x)=ax
3+bx
2+cx+d (a≠0)的“拐點(diǎn)”是(
,f(-
)),它就是f(x)的對(duì)稱中心.
(或者:任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn);任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心;任何一個(gè)三次函數(shù)平移后可以是奇函數(shù);都對(duì).)
故答案為:任何一個(gè)三次函數(shù)都有拐點(diǎn)
點(diǎn)評(píng):本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法,函數(shù)的拐點(diǎn)的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的條件.