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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC= ,BC=3,M,N分別為B1C1、AA1的中點.

(1)求證:平面ABC1⊥平面AA1C1C;
(2)求證:MN∥平面ABC1 , 并求M到平面ABC1的距離.

【答案】
(1)證明:∵AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,

又三棱柱中,有AA1⊥平面ABC,

∴AA1⊥AB,

又 AC∩AA1=A,

∴AB⊥平面AA1C1C,

∵AB平面ABC1,

∴平面ABC1⊥平面AA1C1C


(2)證明:取BB1中點D,∵M為B1C1中點,

∴MD∥BC1(中位線),

又∵N為AA1中點,四邊形ABB1A1為平行四邊形,

∴DN∥AB(中位線),

又MD∩DN=D,

∴平面MND∥平面ABC1

∵MN平面MND,

∴MN∥平面ABC1

∴N到平面ABC1的距離即為M到平面ABC1的距離.

過N作NH⊥AC1于H,

∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,

∴NH⊥平面ABC1,

又根據△ANH∽△AC1A1

∴點M到平面ABC1的距離為


【解析】(1)根據線面垂直的判定定理,先證直線AB⊥平面AA1C1C,再根據面面垂直的判定定理,證得平面ABC1⊥平面AA1C1C.(2)根據面面平行的判定定理,先證平面MND∥平面ABC1 , 再根據面面平行的性質定理,得出MN∥平面ABC1 ,
求M到平面ABC1的距離,則根據性質,等價轉化為求N到平面ABC1的距離.作出點N作出平面ABC1的垂線,并根據相似求出垂線段的長度.
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直才能正確解答此題.

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A.
B.
C.
D.

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