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2.已知橢圓C1x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其短軸的下端點在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上.
(Ⅰ)求橢圓C1的方程;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點,M是直線l:x=2上的動點,F(xiàn)為橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以為OM直徑的圓C2相交于P,Q兩點,與橢圓C1相交于A,B兩點,如圖所示.?
①若PQ=6,求圓C2的方程;
②?設(shè)C2與四邊形OAMB的面積分別為S1,S2,若S1=λS2,求λ的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由橢圓離心率為22,其短軸的下端點在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C1的方程.
(Ⅱ)①設(shè)M(2,t),則C2的方程為(x-1)2+(y-t22=1+t24,由此利用圓的性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出圓C2的方程.
②由①知PQ方程為2x+ty-2=0,(t≠0),代入橢圓方程得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,t≠0,由此利用根的判斷式、韋達定理、弦長公式、分類討論思想,能求出λ的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C1x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其短軸的下端點在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上,
{b=1e=ca=22a2=2+c2,解得a=2,b=c=1,
∴橢圓C1的方程為x22+y2=1
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知F(1,0),設(shè)M(2,t),則C2的圓心坐標(biāo)為(1,t2),
C2的方程為(x-1)2+(y-t22=1+t24,
直線PQ方程為y=-2t(x-1),(t≠0),即2x+ty-2=0,(t≠0)
又圓C2的半徑r=1+t24=12t2+4,
由(|PQ|22+d2=r2,得(622+14t2t2+42=14t2+4,
解得t2=4,∴t=±2,
∴圓C2的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2.
②由①知PQ方程為2x+ty-2=0,(t≠0),
{x22+y2=12x+ty2=0,得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,t≠0,
則△=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)>0,
x1+x2=168+t2,x1x2=82t28+t2,
|AB|=[1+2t2][x1+x224x1x2]=t2+4t2×16248+t282t2t2+8=22×t2+4t2+8,
S2=12×|OM|×|AB|=12t2+4×22×t2+4t2+8=2×t2+43t2+8,
S1=πr2=π4t2+4
∵S1=λS2,
λ=S1S2=π4t2+42×t2+4t2+4t2+8=π42×t2+8t2+4
當(dāng)t=0時,PQ的方程為x=1,|AB|=2,|OM|=2,
S2=12|OM|×|AB|=2,S1=π12|OM|2=π,
λ=S1S2=π2=22π
∵S1=λS2,
λ=S1S2=π×t2+1t222×t2+1t2+1|t|×2t2+1=π22×2t2+1|t|×t2+1
=π22×2t2+12t2t2+1=π22×4+1t2t2+1π22×2=22π
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,PQ方程為x=1,|AB|=2,|OM|=2,
∴S2=12|OM|×|AB|=2,S1=π12|OM|2=π,
λ=S1S2=π2=22π
綜上,λ22π

點評 本題考查橢圓方程、圓的方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判斷式、韋達定理、弦長公式、分類討論思想的合理運用.

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