分析 (Ⅰ)由橢圓離心率為√22,其短軸的下端點在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上,列出方程組求出a,b,由此能求出橢圓C1的方程.
(Ⅱ)①設(shè)M(2,t),則C2的方程為(x-1)2+(y-t2)2=1+t24,由此利用圓的性質(zhì)結(jié)合已知條件能求出圓C2的方程.
②由①知PQ方程為2x+ty-2=0,(t≠0),代入橢圓方程得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,t≠0,由此利用根的判斷式、韋達定理、弦長公式、分類討論思想,能求出λ的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)∵橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為√22,其短軸的下端點在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上,
∴{b=1e=ca=√22a2=2+c2,解得a=√2,b=c=1,
∴橢圓C1的方程為x22+y2=1.
(Ⅱ)①由(Ⅰ)知F(1,0),設(shè)M(2,t),則C2的圓心坐標(biāo)為(1,t2),
C2的方程為(x-1)2+(y-t2)2=1+t24,
直線PQ方程為y=-2t(x-1),(t≠0),即2x+ty-2=0,(t≠0)
又圓C2的半徑r=√1+t24=12√t2+4,
由(|PQ|2)2+d2=r2,得(√62)2+14(t2√t2+4)2=14(t2+4),
解得t2=4,∴t=±2,
∴圓C2的方程為:(x-1)2+(y-1)2=2或(x-1)2+(y+1)2=2.
②由①知PQ方程為2x+ty-2=0,(t≠0),
由{x22+y2=12x+ty−2=0,得(8+t2)x2-16x+8-2t2=0,t≠0,
則△=(-16)2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)>0,
x1+x2=168+t2,x1x2=8−2t28+t2,
|AB|=√[1+(2t)2][(x1+x2)2−4x1x2]=√t2+4t2×162−4(8+t2)(8−2t2)(t2+8)=2√2×t2+4t2+8,
∴S2=12×|OM|×|AB|=12√t2+4×2√2×t2+4t2+8=√2×√(t2+4)3t2+8,
S1=πr2=π4(t2+4),
∵S1=λS2,
∴λ=S1S2=π4(t2+4)√2×(t2+4)√t2+4t2+8=π4√2×t2+8√t2+4,
當(dāng)t=0時,PQ的方程為x=1,|AB|=√2,|OM|=2,
S2=12|OM|×|AB|=√2,S1=π(12|OM|)2=π,
∴λ=S1S2=π√2=√22π.
∵S1=λS2,
∴λ=S1S2=π×t2+1t22√2×(t2+1)√t2+1|t|×(2t2+1)=π2√2×2t2+1|t|×√t2+1
=π2√2×√(2t2+1)2t2(t2+1)=π2√2×√4+1t2(t2+1)>π2√2×2=√22π.
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,PQ方程為x=1,|AB|=√2,|OM|=2,
∴S2=12|OM|×|AB|=√2,S1=π(12|OM|)2=π,
λ=S1S2=π√2=√22π.
綜上,λ≥√22π.
點評 本題考查橢圓方程、圓的方程的求法,考查實數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意根的判斷式、韋達定理、弦長公式、分類討論思想的合理運用.
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A. | 32 | B. | 31 | C. | 30 | D. | 29 |
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A. | y=1-x2 | B. | y=tanx | C. | y=cos2x | D. | y=3x+3-x |
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A. | √5 | B. | -52 | C. | -√8517 | D. | -√52 |
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A. | 4 | B. | 2√2 | C. | 4√2 | D. | 2 |
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