19．如圖：已知三角形ABC，∠ACB=90°，AB在平面α內(nèi)，C不在平面α內(nèi)，點(diǎn)C在平面α內(nèi)的射影為O，CA，CB與平面α所成角分別為30°，45°，CD⊥AB，D為垂足，則CD與平面α所成角60°．

分析 設(shè)OC=a，利用勾股定理，求出AC，BC，AB，CD，可得sin∠CDO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而得到CD與平面α所成角．

解答 解：設(shè)OC=a，
∵CA，CB與平面α所成角分別為30°，45°，
∴AC=2a，BC=$\sqrt{2}$a，
AB=$\sqrt{6}$a，CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
故sin∠CDO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故∠CDO=60°，
即CD與平面α所成角為60°，
故答案為：60°

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，難度中檔．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}$x，x∈R．
（1）求$f（\frac{4π}{3}）$；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

10．如果一個(gè)點(diǎn)時(shí)一個(gè)指數(shù)函數(shù)和一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“好點(diǎn)”，下列四個(gè)點(diǎn)P1（1，1），P2（1，2），P3（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P4（2，2）中，“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（　�。�
A．1B．2C．3D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

7．已知二次函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，f（x）在x=m時(shí)取得最值，又知y=g（x）為一次函數(shù)，且f（x）+g（x）=x2+x-2．
（1）求f（x）的解析式，用m表示；
（2）當(dāng)x∈[-2，1]時(shí)，f（x）≥-3恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=x3-ax2-3x．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=2xlnx，對(duì)一切x∈（0，+∞），都有h（x）+$\frac{f（x）}{x}$≥-6恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若x=3是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=-7x+b的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有1個(gè)交點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍，若不存在，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

4．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，BD⊥CD，且AB=AD=DC=2，點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，現(xiàn)將平面四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折起成四面體PBCD．
（1）當(dāng)平面PBD⊥平面CBD時(shí)，求證：BP⊥平面PCD；
（2）在（1）的條件下，求二面角M-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

11．已知如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AB⊥AD，AP⊥平面ABCD，DC=2AB=2AD=2AP，點(diǎn)E、F、G分別是PB、PC、PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AC∥平面EFG；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

8．如圖：四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=$\frac{π}{3}$，M是BC上的點(diǎn)，且BM=$\frac{1}{2}$，
（1）證明：BC⊥平面POM；
（2）若邊PC與底面ABCD所成角的正切值為1，求平面PAD與平面PBC所成的二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

9．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD=$\sqrt{2}$，DC=SD=2，點(diǎn)M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線BM與CD所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角S-AM-B的余弦值．

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