Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，棱AA₁=AB=a，且點(diǎn)D、E分別為棱AA₁、B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁E∥面BDC₁；
（2）求二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）在線段BC₁上取中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，由已知得四邊形EFDA₁是平行四邊形，由此能證明A₁E∥面BDC₁．
（2）以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值．

解答： （1）證明：在線段BC₁上取中點(diǎn)F，連結(jié)EF，DF，
∴EF∥DA₁，且EF=DA₁，
∴四邊形EFDA₁是平行四邊形，
∴A₁E∥FD，又A₁E不包含于平面BDC₁，F(xiàn)D?平面BDC₁，
∴A₁E∥面BDC₁．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AC為y軸，AA₁為Z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則C₁（0，a，a），B（

3 a

2

，

a

2

，0），
D（0，0，

a

2

），B₁（

3 a

2

，

a

2

，a），

BC1

=（-

3

2

a，

a

2

，0），

BD

=（-

3

2

a，-

a

2

，

a

2

），

BB1

=（0，0，a），
設(shè)平面C₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC1 =- 3 2 ax+ a 2 y=0 n • BD =- 3 2 ax- a 2 y+ a 2 z=0

，
取x=2

3

，得

n

=（2

3

，6，12），
設(shè)平面BDB₁的法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
則

m • BD =- 3 2 ax1- a 2 y1+ a 2 z1=0 m • BB1 =az1=0

，
取x1=

3

，得

m

=（

3

，-3，0），
|cos＜

n

，

m

＞|=|

6-18

192 • 12

|=

1

4

，
設(shè)二面角C₁-BD-B₁的平面角為θ，
則cosθ=

1

4

，tanθ=

15

．
∴二面角C₁-BD-B₁的平面角的正切值為

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．