Question

某種家用電器每臺的銷售利潤與該電器的無故障使用時間T（單位：年）有關(guān)．若T≤1，則銷售利潤為0元；若1＜T≤3，則銷售利潤為100元；若T＞3，則銷售利潤為200元．設(shè)每臺該種電器的無故障使用時間T≤1，1＜T≤3，T＞3這三種情況發(fā)生的概率分別為p₁，p₂，p₃，又知p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃．
（Ⅰ）求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）記λ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和，求λ的分布列；
（Ⅲ）求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的期望值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃，可求p₁，p₂，p₃的值；
（Ⅱ）λ的可能取值為0，100，200，300，400，求出相應(yīng)的概率，可得λ的分布列；
（Ⅲ）利用期望公式可求銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的期望值．

解答：解：（Ⅰ）∵p₁+p₂+p₃=1，p₁，p₂是方程25x²-15x+a=0的兩個根，且p₂=p₃，
∴p₁+p₂=

15

25

=

3

5

，∴p₃=

2

5

，∴p₁=

1

5

（Ⅱ）λ的可能取值為0，100，200，300，400，則P（λ=0）=

1

5

×

1

5

=

1

25

；P（λ=10）=

1

5

×

1

5

+

2

5

×

1

5

=

4

25

；
P（λ=20）=

2

5

×

2

5

+

1

5

×

2

5

+

2

5

×

1

5

=

8

25

；P（λ=30）=

2

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

=

8

25

；
P（λ=40）=

2

5

×

2

5

=

4

25

∴λ的分布列為

λ	0	100	200	300	400
P	1 25	4 25	8 25	8 25	4 25

（Ⅲ）銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和的期望值Eλ=0×

1

25

+100×

4

25

++200×

8

25

+300×

8

25

+400×

4

25

=240

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，確定變量的取值，計算概率是關(guān)鍵．