Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=（n∈N₊）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_2n-1}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由a_n+a_n+1=，可得a_n-1+a_n=，聯(lián)立可得a_n+1-a_n-1=2，結(jié)合a₁=1，可得a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差數(shù)列．及可證
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求n為奇數(shù)時(shí)a_n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，即可求a_n，結(jié)合通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的求和公式可求S_n
解答：（Ⅰ）證明：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+a_n+1=①，a_n-1+a_n=（n∈N₊）．②，
①-②可得a_n+1-a_n-1=2，又a₁=1，所以a₁，a₃，a₅…a_2n-1成等差數(shù)列．
所以數(shù)列{a_2n-1}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知n為奇數(shù)時(shí)a_n=n，則n為偶數(shù)時(shí)，，
得，
所以．…（8分）
n為偶數(shù)時(shí)，==
n（n≥3）為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n-1+a_n==
又
故..…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的定義在等差數(shù)列的證明中的應(yīng)用，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用