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如圖，五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面ABF是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF=BC．
（I）證明：EO∥面ABF；
（Ⅱ）若EF=EO，證明：平面EFO⊥平面ABE．

【答案】分析：（I）通過證平行四邊形證線線平行，再由線線平行證明線面平行即可；
（II）先通過證線面垂直證線線垂直，再由線線垂直⇒線面垂直⇒面面垂直．
解答：證明：（I）證明：取AB的中點M，連接FM，OM，
∵O為矩形ABCD的對角線的交點，∴OM∥BC，且OM=BC，
又EF∥BC，且EF=BC，∴OM=EF，且EF∥OM，
∴四邊形EFMO為平行四邊形，∴EO∥FM，又FM?平面ABF，EO?平面ABF，
∴EO∥平面ABF．
（II）∵由（I）知四邊形EFMO為平行四邊形，∵EE=EO，
∴四邊形EFMO為菱形，連接EM，則FO⊥EM，
又∵三角形ABF為等邊三角形，且M為AB的中點，
∴FM⊥AB，MO⊥AB，∴AB⊥平面EFMO，∴AB⊥FO，
又AB∩EM=M，∴FO⊥平面ABE，FO?平面EFO，
∴平面ABE⊥平面EFO．
點評：本題考查線面平行的判定及面面垂直的判定．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=
1
2
EF=2
2
，AF=BE=2，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（I）求證：PQ∥平面BCE；
（II）求證：AM⊥平面ADF．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=
1
2
EF=2
2
，AF=BE=2，P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（Ⅰ）求證：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ）求證：AM⊥平面ADF；
（Ⅲ）求二面角A-DF-E的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•臨沂一模）如圖，五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面ABF是等邊三角形，棱EF∥BC，且EF=
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BC．
（I）證明：EO∥面ABF；
（Ⅱ）若EF=EO，證明：平面EFO⊥平面ABE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•湛江二模）如圖，五面體ABCD中，ABCD是以點H為中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）證明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面體EF-ABCD的體積；
（3）設N為EC的中點，若在平面ABCD內存在一點M，使MN丄平面BCE，求MN的長．

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科目：高中數學 來源：2012年廣東省湛江市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，五面體ABCD中，ABCD是以點H為中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）證明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面體EF-ABCD的體積；
（3）設N為EC的中點，若在平面ABCD內存在一點M，使MN丄平面BCE，求MN的長．

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