Question

【題目】已知f（x）=ex ， g（x）=lnx，若f（t）=g（s），則當(dāng)s﹣t取得最小值時(shí)，f（t）所在區(qū)間是（ ）
A.（ln2，1）
B.（ ，ln2）
C.（ ， ）
D.（ ， ）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令f（t）=g（s）=a，即et=lns=a＞0， ∴t=lns，s=ea ，
∴s﹣t=ea﹣lna，（a＞0），
令h（a）=ea﹣ ，
則h′（a）=ea﹣ ，
∵y=ea遞增，y= 遞減，
故存在唯一a=a0使得h′（a）=0，
0＜a＜a0時(shí)，ea＜ ，h′（a）＜0，
a＞a0時(shí)，ea＞ ，h′（a）＞0，
∴h（a）min=h（a0），
即s﹣t取最小值是時(shí)，f（t）=a=a0 ，
由零點(diǎn)存在定理驗(yàn)證 ﹣ =0的根的范圍：
a0= 時(shí)， ﹣ ＜0，
a0=ln2時(shí)， ﹣ ＞0，
故a0∈（ ，ln2），
故選：B．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需要了解a0=1, 即x=0時(shí)，y=1，圖象都經(jīng)過(0，1)點(diǎn);ax=a，即x=1時(shí)，y等于底數(shù)a;在0<a<1時(shí):x<0時(shí)，ax>1,x>0時(shí)，0<ax<1;在a>1時(shí):x<0時(shí),0<ax<1,x>0時(shí)，ax>1才能得出正確答案．