Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為其前n項(xiàng)和．
（I）設(shè)S3=

3

2

，S6=

21

16

，求a_n；
（II）若S₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，證明a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比等于q，由題意可得

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，且

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，求出a₁和q的值，
即可得到a_n ．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，可得q≠1，a₁+a₁q³=a₁q⁶，即 a₁+a₄=2a₇，命題得證．

解答：解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比等于q，則由S3=

3

2

，S6=

21

16

 可得

a1(1-q3)

1-q

=

3

2

，且

a1(1-q6)

1-q

=

21

16

，兩式相除解得q=-

1

2

，代入其中一式可得 a₁=2．
故通項(xiàng)公式 a_n =2×(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n-2．
（II）由S₄，S₁₀，S₇成等差數(shù)列，可得q≠1，2×

a1(1-q10)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q7)

1-q

．
故有 2q¹⁰=q⁴+q⁷，化簡得 1+q³=2q⁶，∴a₁+a₁q³=a₁q⁶，
即 a₁+a₄=2a₇，故a₁，a₇，a₄也成等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．