Question

設二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c），當自變量x=1時函數(shù)值為0，一次函數(shù)y₂=ax+b．
（1）求證：上述兩個函數(shù)圖象必有兩個不同的交點；
（2）若二次函數(shù)圖象與x軸有一交點的橫坐標為t，且t為奇數(shù)時，求t的值；
（3）設上述兩函數(shù)圖象的交點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁，求線段A₁B₁的長的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由當自變量x=1時函數(shù)值為0，可得a+b+c=0，結合a＞b＞c，可得：a＞0，c＜0，聯(lián)立兩個函數(shù)的解析式，根據(jù)所得方程的△＞0，可得對應方程有兩個解，即兩個函數(shù)圖象必有兩個不同的交點；
（2）由（1）得x=1是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，滿足題意；若另一根為t，即t≠1，且t為奇數(shù)，由韋達定理可得：-2＜t＜1，根據(jù)t為奇數(shù)，可得滿足條件的t的值；
（3）兩函數(shù)圖象的交點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁，同A₁，B₁兩點的橫坐標即為方程ax²+（b-a）x+（c-b）=0的兩根x₁，x₂，根據(jù)韋達定理的推論2構造|A₁B₁|的表達式，進而可求出線段A₁B₁的長的取值范圍．

解答： 解：（1）當x=1時，y₁=a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
由

y=ax2+bx+c y=ax+b

得：ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
∵△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac＞0，
∴二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c與一次函數(shù)y₂=ax+b的圖象必有兩個不同的交點；
（2）由（1）得x=1是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標，滿足題意；
若另一根為t，即t≠1，且t為奇數(shù)，
由韋達定理得：1+t=-

b

a

，1×t=

c

a

，
由（1）中a＞0，c＜0，可得：t=

c

a

＜0…①，
又由a＞b，a＞0，故

b

a

＜1，
即1+t=-

b

a

＜-1，
即t＞-2…②，
由①②及t為奇數(shù)可得：t=-1，
∴t=±1
（3）兩函數(shù)圖象的交點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁，
同A₁，B₁兩點的橫坐標即為方程ax²+（b-a）x+（c-b）=0的兩根x₁，x₂，
則|A₁B₁|=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(b-a)2-4a(c-b)

a

，
∵a+b+c=0，即c=-a-b，
∴|A₁B₁|=

(b-a)2-4a(-a-2b)

a

=

5a2+6ab+b2

a

=

( b a +3)2-4

（*），
由a+b+c=0可得：-a=b+c＜2b可得

b

a

＞-

1

2

，
結合（2）中

b

a

＜1可得：

b

a

∈（-

1

2

，1），
代入（*）式可得|A₁B₁|∈（

3

2

，2

3

）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)的零點，韋達定理，計算量大，綜合性可，轉化困難，屬于難題．