Question

（本小題滿分12分）如圖，設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一定點(diǎn)，其

坐為 ,為線段的垂直平分線上一點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．

（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ)過點(diǎn)P任作兩條斜率均存在的直線PA、PB,分別與拋物線交于點(diǎn)A、B，如圖示，若直線AB的斜率為定值,求證：直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ)證明過程見解析

【解析】

試題分析：對(duì)于第一問，根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，從而得出的值，而得出結(jié)果，對(duì)于第二問，將傾斜角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化成斜率和為0，而直線的斜率用兩點(diǎn)的斜率坐標(biāo)公式，注意題的條件，斜率的關(guān)系，從而得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，已轉(zhuǎn)化即可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）∵拋物線的方程為，∴直線的方程為 １分

又∵點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且為拋物線的焦點(diǎn)，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為． 2分

又∵點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，∴，即．

∴拋物線的方程為． 5分

（Ⅱ）設(shè),則，又因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，所以有，所以,故由已知得 (*) （7分）

又由已知易知,所以從而有(**) （8分）

又因?yàn)辄c(diǎn)A、B、P均在拋物線上，所以有把它們分別代入（**）式，并化簡(jiǎn)可得：

（10分）

把（*）式代入，可得

故直線PA、PB的傾斜角互補(bǔ)。 （12分）

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的關(guān)系，直線的斜率問題.