Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx；
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象在[

1

2

，2]上有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：對大于1的任意正整數(shù)n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式

分析：（1）a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，fˊ（x）=

x-1

x2

，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)可化為f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立；從而求a；
（3）由f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)可證明ln

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

，從而證明不等式．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，令fˊ（x）=0得x=1；
當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
fˊ（x）		-	0	+
f（x）	1-ln2	單調(diào)遞減	0	單調(diào)遞增	ln2- 1 2

∵1-ln2-（ln2-

1

2

）=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4＞0，
∴b的取值范圍為（0，ln2-

1

2

]；
（2）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）；
∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立；
既ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立；
∴a≥1；
（3）證明：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)．
∴f（x）≥f（1）=0，
∴

1

x

-1+lnx≥0，
∴l(xiāng)nx≥1-

1

x

，
當(dāng)n＞1時(shí)，則

n

n-1

＞1，
∴l(xiāng)n

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

；
∴n＞1時(shí)，lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了不等式的證明與恒成立問題，屬于難題．