Question

設(shè)△ABC的角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a²+b²=abcosC+absinC，則△ABC的形狀為

1. A.
   直角非等腰三角形
2. B.
   等腰非等邊三角形
3. C.
   等腰直角三角形
4. D.
   等邊三角形

Answer 1

D
分析：將已知等式右邊提取2ab，利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域得出a²+b²≤2ab，當(dāng)且僅當(dāng)C+=，即C=時取等號；再利用基本不等式得到a²+b²≥2ab，且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，進而確定出a=b且C=，即可判定出此三角形為等邊三角形．
解答：∵-1≤sin（C+）≤1，
∴a²+b²=abcosC+absinC=2ab（cosC+sinC）=2absin（C+）≤2ab，
當(dāng)且僅當(dāng)C+=，即C=時取等號，
又a²+b²≥2ab，且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號，
則a=b且C=，即△ABC為等邊三角形．
故選D
點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及基本不等式的運用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．