Question

已知函數(shù)（a＜-1）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線與x軸平行，求a的值，并求出函數(shù)的極值；
（2）已知函數(shù)g（x）=4lnx-2x+ln（b²-2b），在（1）的條件下，若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義再結(jié)合條件函數(shù)f（x）在x=2處的切線與x軸平行可得f'（2）=0從而求出a的值；然后將a代入可求出f'（x）=而f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）故根據(jù)f'（x）的正負(fù)和f（x）的單調(diào)性的關(guān)系可得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增然后根據(jù)極大極小值的定義即可求出函數(shù)的極值．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）由（1）可得F（x）=-ln（b²-2b）（x＞0）故f（x）＞g（x）恒成立就轉(zhuǎn)化為F（x）_min＞0在（0，+∞）上恒成立，下面只需利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性相結(jié)合求出F（x）_min
解答：解：（1）∵函數(shù)（a＜-1）
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）且，（1分）
∵f（x）在x=2處的切線與x軸平行
∴f'（2）=0
∴a=-3，（3分）此時(shí)f'（x）=
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f^′（x）＞0，x∈（1，2）時(shí)f^′（x）＜0，x∈（2，+∞）時(shí)f^′（x）＞0
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值f（2）=-4+2ln2．（6分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）
則F（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），F(xiàn)（x）=-4lnx+2x-ln（b²-2b）=-ln（b²-2b）（x＞0），
∴F′（x）==．                                （8分）
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，所以F（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，所以F（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)（x）_min=2-2-2ln2-ln（b²-2b）=-2ln2-ln（b²-2b），
∴要使在（1）的條件下，若f（x）＞g（x）恒成立只需要F（x）_min=-2ln2-ln（b²-2b）＞0
即ln（b²-2b）＜（11分）
∴（13分）．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，綜合考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)解決有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、極值、切線方程等問(wèn)題的能力，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，極值的定義同時(shí)第二題的解題思路要引起注意：即將f（x）＞g（x）恒成立的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為F（x）_min＞0在（0，+∞）上恒成立從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性求F（x）_min!