Question

（本小題滿分12分）已知平面上一定點和一定直線為該平面上一動點,作,垂足為,且

（1）問點在什么曲線上?并求出該曲線的方程;

（2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點,是否存在實數,使得以線段為直徑的圓經過點?若存在,求出的值,若不存在,說明理由.

 

Answer 1

（1）點在雙曲線上,其方程為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據條件代入點的坐標，化簡整理得方程為則點在雙曲線上.

（2）聯立直線與雙曲線的方程消去得到關于的方程，直線與雙曲線交于不同的兩點，由，得的范圍，又因為以線段為直徑的圓經過點，所以，利用或者得的等式，代入根與系數關系得到關于的方程，求出，檢驗滿足，所以存在實數.

試題解析：（1）設的坐標為,由得

∴

化簡得 ∴點在雙曲線上,其方程為

（2）設點的坐標分別為、,由 得

∵與雙曲線交于兩點, ∴,即解得

，

∵若為直徑的圓過,則,∴,即,

∴

∴

解得,故存在值為.

考點：1雙曲線的定義和方程；2.直線與雙曲線的綜合問題.