Question

某電視臺的一個智力游戲節(jié)目中，有一道將中國四大名著A、B、C、D與它們的作者連線的題目，每本名著只能與一名作者連線，每名作者也只能與一本名著連線．每連對一個得3分，連錯得-1分，一名觀眾隨意連線，將他的得分記作ξ．
（Ⅰ）求該觀眾得分ξ為正數(shù)的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（1）ξ的可能取值為-4，0，4，12．P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

，P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

．由此能求出該同學得分正數(shù)的概率．
（2）P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，P（ξ=-4）=

3×3

A 4 4

=

9

24

．由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學期望Eξ．

解答：解：（1）ξ的可能取值為-4，0，4，12．
P（ξ=12）=

1

A 4 4

=

1

24

，P（ξ=4）=

C 2 4

A 4 4

=

1

4

．
該同學得分正數(shù)的概率為P（ξ=12）+P（ξ=4）=

1

24

+

1

4

=

7

24

．
（2）P（ξ=0）=

C 1 4 ×2

A 4 4

=

1

3

，P（ξ=-4）=

3×3

A 4 4

=

9

24

．
∴ξ的分布列為：

ξ	-4	0	4	12
P	9 24	1 3	1 4	1 24

∴ξ的數(shù)學期望Eξ=-4×

9

24

+0×

1

3

+4×

1

4

+12×

1

24

=3．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和方差，解題時要認真審題，注意概率知識和排列組合知識的靈活運用，是中檔題．