已知函數(shù)f(x)＝

(1)若曲線y＝f(x)在x＝2處的切線與直線x＋y＋2＝0互相垂直，求a的值；

(2)若a≥1，求f(x)在[0，e](e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上的最大值；

(3)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y＝f(x)上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

答案：
解析：

　　解：(1)時(shí)，，

　　由已知得　3分

　　(2)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4822/0022/7dc69b523631718598b7b2c12389445e/C/Image134.gif" width=136 HEIGHT=46>

　�、佼�(dāng)時(shí)，，解得到；解得到

　　．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在處取得極大值也是最大值．所以在上的最大值為．　6分

　�、诋�(dāng)時(shí)，，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4822/0022/7dc69b523631718598b7b2c12389445e/C/Image150.gif" width=34 height=18>，所以在上單調(diào)遞增，所以在上的最大值為．　8分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4822/0022/7dc69b523631718598b7b2c12389445e/C/Image155.gif" width=48 height=41>，所以，若時(shí)，在上的最大值為．　9分

　　(3)假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則只能在軸的兩側(cè)，不妨設(shè)，則，且．　10分

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/4822/0022/7dc69b523631718598b7b2c12389445e/C/Image168.gif" width=44 HEIGHT=20>是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以，

　　即：(1)　11分

　　是否存在點(diǎn)等價(jià)于方程(1)是否有解．

　　若，則，代入方程(1)得：，此方程無實(shí)數(shù)解．　12分

　　若，則，代入方程(1)得到：，

　　設(shè)，則在上恒成立．所以在上單調(diào)遞增，從而，

　　所以當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程(1)有解．

　　所以，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．　14分


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(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a為正數(shù))．
(1) 若曲線y＝f(x)在x＝1和x＝3處的切線互相平行，求a的值；
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3) 設(shè)g(x)＝x2－2x，若對(duì)任意的x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)＜g(x2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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    （1）方程f [f (x)]＝x一定無實(shí)根；

    （2）若a＞0，則不等式f [f (x)]＞x對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；

    （3）若a＜0，則必存在實(shí)數(shù)x0，使f [f (x0)]＞x0；

    （4）若a＋b＋c＝0，則不等式f [f (x)]＜x對(duì)一切x都成立；

    正確的序號(hào)有          ．              

 

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A．x1x2<1　　　　B．x1x2<x1＋x2

C．x1x2＝x1＋x2　　　　D．x1x2>x1＋x2

 

 

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