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11.已知函數(shù)f(x)=ax+lnx-1.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)若a>0,且對(duì)x∈(0,2e]時(shí),f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求導(dǎo)數(shù),確定切線的斜率,即可求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;
(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a>x(1-lnx)對(duì)x∈(0,2e]恒成立.,求出右邊的最大值,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(1)a=2時(shí),fx=2x+lnx1,所以fx=2x2+1x,
則f'(1)=-1,又f(1)=1,
所以切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
(2)因?yàn)閍>0,且對(duì)x∈(0,2e]時(shí),f(x)>0恒成立,
ax+lnx10對(duì)x∈(0,2e]很成立,所以a>x(1-lnx)對(duì)x∈(0,2e]恒成立.
設(shè)g(x)=x(1-lnx)=x-xlnx,x∈(0,2e],
則g'(x)=1-lnx-1=-lnx,
當(dāng)0<x<1時(shí),g'(x)>0,g(x)為增函數(shù);
當(dāng)1<x≤e時(shí),g'(x)<0,g(x)為減函數(shù);
所以g(x)max=g(1)=1-ln1=1,
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的最值,考查構(gòu)造法的運(yùn)用,屬于中檔題.

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