Question

已知函數(shù)f（x）=e^-x（x²-2ax+4a-3），其中a∈R．
（Ⅰ）若a=1，試求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）的極大值和極小值．
（Ⅱ）對于?a∈(0，

5

4

)，求證g(x)=f(x)-

3

e3

在區(qū)間（-2，3）上有兩個零點．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a等于1時求函數(shù)的導數(shù)，根據導數(shù)求函數(shù)的極值，畫出表格，求出單調區(qū)間
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，根據導數(shù)求函數(shù)的極值，設h（a）=g（2a-1），再根據零點存在定理證明函數(shù)的零點個數(shù)

解答：解：（Ⅰ）若a=1，則f（x）=e^-x（x²-2x+1），
∴f'（x）=-e^-x（x-1）（x-3），
由此可知
當x∈（-∞，1）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當x∈（1，3）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；x∈（3，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

故函數(shù)發(fā)f（x）的單調遞增區(qū)間是（1，3），極大值f(3)=

4

e3

，極小值是f（1）=0．
（Ⅱ）證明：∵a∈(0，

5

4

)，∴g(-2)=e2(8a+1)-

3

e3

＞e2-

3

e3

＞0g(3)=e-3(6-2a)-

3

e3

=

3-2a

e3

＞0
而g'（x）=-e^-x[x-（2a-1）]（x-3），由于（2a-1）∈（-2，3）

x	（-2，2a-1）	2a-1	（2a-1，3）	3
g'（x）	-	0	+	0
g（x）	↘	極小值	↗	極大值

故g（x）在（-2，3）有極小值（也是最小值）g(2a-1)=e1-2a(2a-2)-

3

e3

設h（a）=g（2a-1），則h'（a）=-2e^1-2a（2a-3），由于a∈(0，

5

4

)
∴h'（a）＞0，h（a）在(0，

5

4

)上是增函數(shù)，h(a)＜h(

5

4

)=

1

2e 3 2

-

3

e3

=

e 3 2 -6

2e3

＜0
由零點存在定理知，函數(shù)g（x）在（-2，2a-1）和（2a-1，3）內各有一個零點
故函數(shù)g(x)=f(x)-

3

e3

在區(qū)間（-2，3）上有兩個零點．

點評：該題考查函數(shù)的求導，利用導數(shù)求函數(shù)的極值和單調性，會使用零點存在定理，求零點的個數(shù)，注意在解答過程中要畫上表格，注意零點存在的范圍