Question

關(guān)于x的方程2kx²－2x－3k－2＝0的兩實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．

Answer 1

答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析：

方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，于是可將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，研究其圖象與x軸的交點(diǎn)．據(jù)此，可將函數(shù)設(shè)為f(x)＝2kx2－2x－3k－2． 　　由于二次項(xiàng)系數(shù)是參數(shù)，故要分成k＝0和k≠0兩種情況進(jìn)行討論．又由題意知，方程有兩個(gè)實(shí)根，于是對應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸應(yīng)有兩個(gè)交點(diǎn)，故k≠0，此函數(shù)為二次函數(shù)． 　　根據(jù)開口方向，可將k分成k＞0和k＜0兩種情況： 　　①k＞0(開口向上) 　　圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別在(1，0)的左邊和右邊，與對稱軸的位置無關(guān)，于是只須滿足f(1)＜0．(如圖) 　　故2k－2－3k－2＜0，即k＞－4，又因?yàn)閗＞0，于是k的取值范圍是k＞0． 　�、趉＜0(開口向下) 　　圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別在(1，0)的左邊和右邊，與對稱軸的位置無關(guān)，于是只須滿足f(1)＞0．(如圖) 　　故2k－2－3k－2＞0，即k＜－4，又因?yàn)閗＜0，于是k的取值范圍是k＜－4． 　　綜上所述，k的取值范圍是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 　　點(diǎn)評：本題也可以不討論k＞0和k＜0，直接一次性解k·f(1)＜0得到．