Question

已知函數(shù)y＝x＋有如下性質：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在(0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．

(1)如果函數(shù)y＝x＋在(0，4]上是減函數(shù)，在[4，＋∞)上是增函數(shù)，求實常數(shù)b的值；

(2)設常數(shù)c∈[1，4]，求函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[1，2]的最大值和最小值；

(3)當n是正整數(shù)時，研究函數(shù)g(x)＝xⁿ＋(c＞0)的單調性，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由函數(shù)y＝x＋的性質，知y＝x＋在[0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．∴2b＝4，即2b＝16＝24．∴b＝4． 　　(2)∵c∈[1，4]，∴∈[1，2]． 　　又∵f(x)＝x＋在(0，]上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)．∴在x∈[1，2]上，當x＝時，函數(shù)取得最小值2．又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，f(2)－f(1)＝1－． 　　當c∈[1，2)時，f(2)－f(1)＞0，f(2)＞f(1)． 　　此時f(x)的最大值為f(2)＝2＋． 　　當c＝2時，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)． 　　此時f(x)的最大值為f(2)＝f(1)＝3． 　　當c∈(2，4]時，f(2)－f(1)＜0，f(2)＜f(1)．此時f(x)的最大值為f(1)＝1＋c． 　　(3)(x)＝nxn－1－，令(x)＝0，得x2n＝c，∴x＝± 　　又∵x≠0，列表分析，如下： 　　于是函數(shù)g(x)在(0，)上是減函數(shù)，在[，＋∞)上是增函數(shù)． 　　當n是正奇數(shù)時，g(x)＝xn＋，在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函數(shù)，于是g(x)在(－∞，－]上是增函數(shù)，在[－，0]上是減函數(shù)； 　　當n是正偶數(shù)時，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函數(shù)，于是g(x)在(－∞，－]上是減函數(shù)，在[－，0]上是增函數(shù)． 　　分析：本題設計新穎，層層遞進，是演繹推理的典型應用，要正確理解題意．根據(jù)已有的事實和正確的結論，按照嚴格的邏輯法進行證明、推理，尋找題目中的大前提和小前提．