Question

已知a是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－a)²(x＋b)e²，b∈R，x＝a是f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)．

(Ⅰ)求b的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x₁，x₂，x₃是f(x)的3個(gè)極值點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)b，可找到x₄∈R，使得x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列(其中{i₁，i₂，i₃，i₄}＝{1，2，3，4})依次成等差數(shù)列？若存在，求所有的b及相應(yīng)的x₄；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分類(lèi)討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí)． 　　(Ⅰ)解：f’(x)＝ex(x－a) 　　令 　　于是，假設(shè) 　　(1)當(dāng)x1＝a 或x2＝a時(shí)，則x＝a不是f(x)的極值點(diǎn)，此時(shí)不合題意． 　　(2)當(dāng)x1a且x2a時(shí)，由于x＝a是f(x)的極大值點(diǎn)，故x1＜a＜x2． 　　即 　　即 　　所以b＜－a 　　所以b的取值范圍是(－∞，－a) 　　 　　此時(shí) 　　或 　　(2)當(dāng)時(shí)，則或 　　 　　于是 　　 　　 　　此時(shí) 　　綜上所述，存在b滿足題意， 　　當(dāng)b＝－a－3時(shí)， 　　時(shí)， 　　時(shí)，