Question

已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么

PA

•

PB

的最小值為（　�。�

• A、-4+

  2

• B、-3+

  2

• C、-4+2

  2

• D、-3+2

  2

Answer 1

分析：要求

PA

•

PB

的最小值，我們可以根據(jù)已知中，圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，結(jié)合切線長定理，設(shè)出PA，PB的長度，和夾角，并將

PA

•

PB

表示成一個關(guān)于X的函數(shù)，然后根據(jù)求函數(shù)最值的辦法，進(jìn)行解答．

解答：解：如圖所示：設(shè)PA=PB=x（x＞0），
∠APO=α，則∠APB=2α，
PO=

1+x2

，
sinα=

1

1+x2

，

PA

•

PB

=

|PA

|•|

PB

|cos2α
=x²（1-2sin²α）
=

x2(x2-1)

x2+1

=

x4-x2

x2+1

，
令

PA

•

PB

=y，則y=

x4-x2

x2+1

，
即x⁴-（1+y）x²-y=0，由x²是實數(shù)，
所以△=[-（1+y）]²-4×1×（-y）≥0，y²+6y+1≥0，
解得y≤-3-2

2

或y≥-3+2

2

．
故（

PA

•

PB

）min=-3+2

2

．此時x=

2 -1

．

點評：本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法--判別式法，同時也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力及運(yùn)算能力．