Question

（1）已知k、n∈N^*，且k≤n，求證：k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；
（2）設(shè)數(shù)列a₀，a₁，a₂，…滿足a₀≠a₁，a_i-1+a_i+1=2a_i（i=1，2，3，…）．證明：對任意的正整數(shù)n，p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn是關(guān)于x的一次式．

Answer 1

分析：（1）利用組合的階乘公式，分別化簡左、右邊，即可得證；
（2）由題意得數(shù)列a₀，a₁，a₂，…為等差數(shù)列，且公差為a₁-a₀≠0，利用p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn=a0

C

0 n

(1-x)n+[a0+(a1-a0)]

C

1 n

x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]

C

n n

xn，即可化簡得到結(jié)論．

解答：證明：（1）左邊=k

C

k n

=k•

n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
右邊=n•

(n-1)!

(k-1)!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
所以k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；
（2）由題意得數(shù)列a₀，a₁，a₂，…為等差數(shù)列，且公差為a₁-a₀≠0．
則p(x)=a0

C

0 n

(1-x)n+a1

C

1 n

x(1-x)n-1+a2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+an

C

n n

xn=a0

C

0 n

(1-x)n+[a0+(a1-a0)]

C

1 n

x(1-x)n-1+…+[a0+n(a1-a0)]

C

n n

xn=a0[

C

0 n

(1-x)n+

C

1 n

x(1-x)n-1+…+

C

n n

xn]+(a1-a0)[

C

1 n

x(1-x)n-1+2

C

2 n

x2(1-x)n-2+…+n

C

n n

xn]=a0[(1-x)+x]n+(a1-a0)nx[

C

0 n-1

(1-x)n-1+

C

1 n-1

x(1-x)n-2+…+

C

n-1 n-1

xn-1]=a0+(a1-a0)nx[x+(1-x)]n-1=a₀+（a₁-a₀）nx，
所以對任意的正整數(shù)n，p（x）是關(guān)于x的一次式．

點評：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)、二項式定理，考查推理論證能力．